A forma correta, quando estamos falando do verbo mexer, é mexeram, escrita com X. A palavra corresponde, em seu emprego mais comum, à terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo: eles mexeram, elas mexeram, vocês mexeram. Formas como mecheram, meicheram e meixeram não pertencem à conjugação do verbo mexer. A dúvida ocorre principalmente porque o X de mexer possui um som semelhante ao CH de palavras como chave e chuva. Esse mesmo fenômeno também explica dúvidas como lixa ou licha: em português, a relação entre letras e sons nem sempre permite descobrir a grafia apenas pela pronúncia.
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