Números Primos: O Que São, Como Identificar e Exemplos

Quando eu era criança, aprender sobre os números primos parecia uma daquelas coisas da Matemática que, no começo, eram bem mais complicadas do que deveriam ser. Eu ficava tentando entender por que alguns números eram considerados primos e outros não, contando divisores e fazendo várias continhas para conferir. Às vezes dava aquela sensação de que eu nunca ia decorar quais eram, mas, quando finalmente entendia a lógica, era muito legal. Acho que uma das melhores coisas de aprender quando somos crianças é justamente essa sensação de descobrir algo novo e perceber que aquilo que parecia tão difícil alguns minutos antes começa, de repente, a fazer sentido.

O que é um número primo?

Um número natural maior que 1 é chamado de primo quando possui exatamente:

dois divisores positivos.

Esses divisores são:

1
e
o próprio número.

Por exemplo:

Divisores de 7 = {1, 7}

Como existem exatamente dois divisores:

7 é primo.

Agora observe:

Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8}

Como 8 possui mais de dois divisores:

8 não é primo.

O que é um divisor?

Antes de estudar primalidade, é importante compreender o conceito de:

divisibilidade.

Dizemos que um número a é divisor de outro número b quando a divisão:

b ÷ a

resulta em um número inteiro, sem resto.

Por exemplo:

12 ÷ 3 = 4

Logo:

3 é divisor de 12.

Também podemos escrever:

3 | 12

que se lê:

“3 divide 12”.

Primo e composto: qual é a diferença?

Os números naturais maiores que 1 podem ser separados em duas grandes categorias:

Outra maneira de reconhecer um número composto é perceber que ele pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que 1.

Por exemplo:

15 = 3 × 5

Portanto:

15 é composto.

Quais são os primeiros números primos?

Os primeiros números primos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

Observe que eles não aparecem em intervalos regulares.

Entre:

2 e 3

temos primos consecutivos.

Mas entre:

23 e 29

existem cinco números naturais intermediários.

À medida que avançamos pelos naturais, a distribuição dos primos torna-se um problema matemático cada vez mais interessante.

O número 1 é primo?

Não.

O número:

1

possui apenas:

um divisor positivo.

Seu único divisor é:

1.

Mas, pela definição moderna, um número primo precisa possuir:

exatamente dois divisores positivos distintos.

Portanto:

1 NÃO É PRIMO.

Também não é classificado como composto.

Assim:

1 → nem primo nem composto.

Por que excluir o número 1 é matematicamente importante?

A exclusão de 1 da definição dos números primos não é uma simples convenção sem consequência.

Ela é fundamental para manter a unicidade da:

fatoração em números primos.

Considere:

12 = 2² × 3

Se 1 fosse considerado primo, poderíamos escrever:

12 = 1 × 2² × 3

ou:

12 = 1 × 1 × 2² × 3

e assim indefinidamente.

Isso prejudicaria a formulação elegante da unicidade estabelecida pelo Teorema Fundamental da Aritmética.

O número 2 é primo?

Sim.

Seus divisores positivos são:

1 e 2.

Portanto:

2 é primo.

Além disso, ele possui uma característica única:

2 é o único número primo par.

Por que 2 é o único primo par?

Todo número par é divisível por:

2.

Considere um número par maior que 2:

6.

Ele possui:

1, 2, 3 e 6

como divisores.

O mesmo acontece com:

• 4;
• 8;
• 10;
• 12;
• 14;
• 16;
• 18.

Todos possuem, no mínimo:

1, 2 e o próprio número.

Por isso, nenhum número par maior que 2 pode ser primo.

Todo número ímpar é primo?

Não.

Esse é provavelmente um dos erros mais comuns no estudo dos números primos.

É verdade que:

todo primo maior que 2 é ímpar.

Mas a afirmação inversa não é verdadeira.

Existem muitos números ímpares compostos:

9 = 3 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
25 = 5 × 5
27 = 3 × 9

Portanto:

PRIMO MAIOR QUE 2 → ÍMPAR

mas:

ÍMPAR → NÃO NECESSARIAMENTE PRIMO.

O número 0 é primo?

Não.

O zero não satisfaz a definição de número primo.

Além disso, ele apresenta uma propriedade muito diferente:

todo número natural positivo diferente de zero divide 0.

Por exemplo:

0 ÷ 2 = 0
0 ÷ 5 = 0
0 ÷ 100 = 0

Portanto:

0 não possui exatamente dois divisores.

Como descobrir se um número é primo?

Para números pequenos, podemos listar seus divisores.

Considere:

13.

Testamos:

• 13 ÷ 2 → não é inteiro;
• 13 ÷ 3 → não é inteiro;
• 13 ÷ 4 → não é inteiro;
• 13 ÷ 5 → não é inteiro;
• 13 ÷ 6 → não é inteiro.

Os únicos divisores naturais positivos acabam sendo:

1 e 13.

Logo:

13 é primo.

Entretanto, para números maiores existe um procedimento muito mais eficiente.

É necessário testar todos os números menores que ele?

Não.

Para verificar se um número natural n é primo, basta procurar possíveis divisores até:

√n.

Esse resultado reduz bastante o trabalho.

Por que basta testar até a raiz quadrada?

Suponha que um número composto possa ser escrito como:

n = a × b.

Se ambos os fatores fossem maiores que √n, teríamos:

a × b > n,

o que seria impossível.

Portanto, se n for composto, pelo menos um de seus fatores deverá ser:

menor ou igual a √n.

Isso significa que, se nenhum número primo até √n divide n, podemos concluir que:

n é primo.

Exemplo: 97 é primo?

Temos:

√97 ≈ 9,85

Portanto, não precisamos testar todos os números de 2 até 96.

Precisamos verificar apenas os números primos menores ou iguais a 9,85:

2, 3, 5 e 7.

97 não é divisível por nenhum deles.

Logo:

97 é primo.

E 91 é primo?

Temos:

√91 ≈ 9,54

Testamos os primos:

2, 3, 5 e 7.

Quando chegamos ao 7:

91 ÷ 7 = 13

Portanto:

91 = 7 × 13.

Logo:

91 é composto.

Os critérios de divisibilidade ajudam a encontrar números primos?

Muito.

Antes de realizar várias divisões, podemos eliminar candidatos utilizando critérios simples.

Os mais úteis são os critérios de:

• 2;
• 3;
• 5.

Critério de divisibilidade por 2

Todo número terminado em:

0, 2, 4, 6 ou 8

é divisível por 2.

Portanto, qualquer número maior que 2 que termine em um desses algarismos:

não é primo.

Exemplos:

18 → composto
42 → composto
76 → composto
108 → composto

Critério de divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Por exemplo:

123.

Somamos:

1 + 2 + 3 = 6

Como 6 é divisível por 3:

123 também é divisível por 3.

Logo:

123 não é primo.

Critério de divisibilidade por 5

Todo número terminado em:

0 ou 5

é divisível por 5.

Portanto, qualquer número maior que 5 terminado em 0 ou 5:

é composto.

Exemplos:

15 → composto
35 → composto
70 → composto
125 → composto

A única exceção é:

5,

que é primo.

Quais algarismos podem aparecer no final de um primo?

Considere um número primo maior que:

5.

Ele não pode terminar em:

• 0;
• 2;
• 4;
• 5;
• 6;
• 8.

Caso contrário, seria divisível por 2 ou 5.

Portanto, todo primo maior que 5 precisa terminar em:

1, 3, 7 ou 9.

Esse padrão funciona apenas como filtro. Um número terminado em 1, 3, 7 ou 9 não é necessariamente primo. Por exemplo, 21 termina em 1, mas é 3 × 7; 33 termina em 3, mas é 3 × 11; e 49 termina em 9, mas é 7 × 7.

O que é o Crivo de Eratóstenes?

O Crivo de Eratóstenes é um método clássico para encontrar os números primos até determinado limite.

A ideia é extremamente simples.

Primeiro escrevemos os números naturais a partir de:

2.

Depois:

1. marcamos 2 como primo;
2. eliminamos seus múltiplos;
3. o próximo número não eliminado é 3;
4. marcamos 3 como primo;
5. eliminamos seus múltiplos;
6. repetimos o processo.

Os números que permanecem são:

primos.

Exemplo do Crivo de Eratóstenes até 30

Começamos:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

Eliminamos os múltiplos de:

2.

Depois os múltiplos de:

3.

Depois os múltiplos de:

5.

Restam:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

Esses são os números primos menores que 30.

Por que não eliminamos o próprio 2 no crivo?

Porque o objetivo é eliminar os:

múltiplos maiores do que ele.

O número 2 é divisível por:

1 e 2

e, portanto, é primo.

Já:

4, 6, 8, 10, 12…

possuem 2 como divisor diferente de 1 e do próprio número.

Por isso são compostos.

O que é fatoração em números primos?

Fatorar um número significa escrevê-lo como produto de fatores.

Na decomposição em fatores primos, utilizamos apenas números primos.

Por exemplo:

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Podemos escrever:

60 = 2² × 3 × 5

Todos os fatores:

2, 3 e 5

são números primos.

Por que os primos são chamados de “blocos de construção” dos naturais?

Porque qualquer número natural maior que 1 pode ser construído por meio da multiplicação de números primos.

Observe:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

35 = 5 × 7

100 = 2² × 5²

Mesmo números compostos muito grandes podem ser decompostos em fatores primos.

Essa propriedade está formalizada em um dos resultados fundamentais da Aritmética.

O que diz o Teorema Fundamental da Aritmética?

De maneira simplificada, o teorema afirma que todo número natural maior que 1:

ou é primo

ou:

pode ser escrito como produto de números primos.

Além disso, essa fatoração é:

única, salvo a ordem dos fatores.

Por exemplo:

84 = 2² × 3 × 7.

Podemos mudar a ordem:

84 = 7 × 3 × 2 × 2,

mas não encontraremos uma decomposição com outros números primos que produza 84.

Essa unicidade é uma das razões pelas quais os números primos são tão importantes.

Números primos acabam algum dia?

Não.

Existem:

infinitos números primos.

Esse resultado já era conhecido na Matemática grega antiga e aparece associado a:

Euclides.

Em sua obra Elementos, foi apresentada uma demonstração de que não é possível construir uma lista finita contendo todos os números primos.

Qual é a ideia da demonstração de Euclides?

Suponha, apenas para argumentar, que existissem finitíssimos primos:

p₁, p₂, p₃, …, pₙ.

Multiplicamos todos:

p₁ × p₂ × p₃ × … × pₙ

e somamos:

1.

Temos:

N = p₁p₂p₃…pₙ + 1

Quando dividimos N por qualquer primo da lista original, o resto será:

1.

Portanto, N não pode ser divisível por nenhum daqueles primos.

Mas todo número maior que 1 possui algum fator primo.

Logo, existe necessariamente pelo menos:

um primo que não estava na lista.

Isso contradiz a ideia de que a lista continha todos os primos.

Portanto:

existem infinitos números primos.

O número construído por Euclides é sempre primo?

Não necessariamente.

Esse detalhe merece atenção.

Considere:

2 × 3 × 5 + 1 = 31.

Nesse caso:

31 é primo.

Mas a demonstração não depende de o número formado ser necessariamente primo.

O que importa é que:

ele possui pelo menos um fator primo diferente dos primos utilizados no produto.

Essa distinção evita uma interpretação incorreta bastante comum da demonstração.

Existem números primos consecutivos?

Os únicos números naturais consecutivos que são ambos primos são:

2 e 3.

Depois disso, qualquer par de números consecutivos contém:

um número par.

E todo par maior que 2 é composto.

Por isso, não existem outros primos consecutivos.

O que são primos gêmeos?

Dois números primos que diferem por:

2

são chamados de:

primos gêmeos.

Exemplos:

3 e 5
5 e 7
11 e 13
17 e 19
29 e 31

A diferença entre cada par é:

2

Uma das questões clássicas da Teoria dos Números pergunta se existem:

infinitos pares de primos gêmeos.

Esse problema permanece aberto.

O que significa dizer que dois números são “primos entre si”?

Essa expressão possui um significado diferente de dizer que ambos são números primos.

Dois números são:

primos entre si

ou:

coprimos

quando seu único divisor positivo comum é:

1.

Por exemplo:

8 e 15.

Nenhum deles é necessariamente analisado isoladamente como primo:

8 é composto
15 é composto.

Entretanto:

MDC(8,15) = 1.

Portanto:

8 e 15 são primos entre si.

Primo e ímpar significam a mesma coisa?

Não.

Portanto, paridade e primalidade são:

propriedades diferentes.

Existe uma fórmula simples que gera todos os números primos?

Não existe uma fórmula elementar simples que, utilizada da mesma maneira, produza exatamente todos os números primos e somente eles de forma prática para qualquer posição.

A distribuição dos números primos apresenta padrões profundos, mas não uma regularidade trivial como:

2, 4, 6, 8, 10…

para os números pares.

Essa aparente irregularidade tornou a distribuição dos primos um dos grandes temas da:

Teoria dos Números.

Por que os números primos são importantes na Matemática?

Eles aparecem em diversos conceitos.

Entre eles:

• fatoração;
• divisibilidade;
• frações;
• máximo divisor comum;
• mínimo múltiplo comum;
• congruências;
• Teoria dos Números;
• algoritmos;
• criptografia.

Sua importância decorre principalmente do fato de constituírem os componentes fundamentais da estrutura multiplicativa dos naturais.

O que números primos têm a ver com criptografia?

A Matemática dos números primos também possui aplicações na segurança digital.

Um dos exemplos mais conhecidos é o sistema:

RSA.

Em sistemas baseados em fatoração de inteiros, números primos grandes desempenham papel importante na geração de determinadas chaves criptográficas.

A ideia central envolve uma diferença computacional importante:

multiplicar números primos grandes pode ser relativamente simples;

enquanto:

descobrir os fatores de determinados números muito grandes pode ser computacionalmente difícil.

Essa assimetria matemática foi explorada em sistemas de criptografia de chave pública.

A criptografia moderna é uma área ampla e utiliza diversos métodos. Nem todo sistema criptográfico depende da fatoração de números primos, mas os primos possuem importância histórica e técnica fundamental em algoritmos como o RSA.

Divisibilidade aparece em outros conteúdos?

Sim.

Um exemplo curioso está nas regras matemáticas utilizadas para identificar:

anos bissextos.

No calendário gregoriano, critérios envolvendo divisibilidade por:

4, 100 e 400

determinam quando fevereiro recebe um dia adicional.

Esse assunto já foi estudado aqui no Da Aula:

Bissexto ou Bisexto: Qual é o Correto?

Embora aquele artigo trate principalmente de ortografia e calendário, a regra do ano bissexto oferece um exemplo real de como:

a divisibilidade aparece fora dos exercícios tradicionais de Matemática.

Como números primos podem aparecer em provas?

Exemplo 1 — definição

Qual número possui exatamente dois divisores positivos?

• A) 1;
• B) 7;
• C) 9;
• D) 15.

Resposta: B.

Exemplo 2 — número 1

Sobre o número 1, é correto afirmar:

• A) é primo;
• B) é composto;
• C) é simultaneamente primo e composto;
• D) não é primo nem composto.

Resposta: D.

Exemplo 3 — único primo par

Qual é o único número primo par?

• A) 0;
• B) 1;
• C) 2;
• D) 4.

Resposta: C.

Exemplo 4 — ímpar composto

Qual dos números seguintes é ímpar e composto?

• A) 7;
• B) 11;
• C) 15;
• D) 19.

Resposta: C.

Exemplo 5 — fatoração

A decomposição de 42 em fatores primos é:

• A) 2 × 3 × 7;
• B) 6 × 7;
• C) 2 × 21;
• D) 3 × 14.

Embora todas as multiplicações apresentem 42, apenas:

2 × 3 × 7

utiliza exclusivamente fatores primos.

Resposta: A.

Exemplo 6 — primalidade

Qual número é primo?

• A) 51;
• B) 57;
• C) 61;
• D) 63.

Podemos eliminar:

51 → 5 + 1 = 6 → divisível por 3
57 → 5 + 7 = 12 → divisível por 3
63 → 6 + 3 = 9 → divisível por 3

Resta:

61.

Resposta: C.

Exemplo 7 — raiz quadrada

Para testar se 101 é primo utilizando divisões, basta verificar possíveis divisores primos até aproximadamente:

√101 ≈ 10,05

Portanto, testamos:

2, 3, 5 e 7.

Nenhum divide 101.

Logo:

101 é primo.

Exemplo 8 — primos entre si

Qual par é formado por números primos entre si?

• A) 8 e 15;
• B) 8 e 12;
• C) 10 e 15;
• D) 14 e 21.

Temos:

MDC(8,15) = 1.

Resposta: A.

Como achar padrões e não se confundir mais?

Em vez de tentar decorar centenas de números primos, utilize uma sequência de filtros. Na maioria das questões escolares, vários candidatos podem ser eliminados quase imediatamente.

Padrão 1 — lembre-se: 1 não é primo

Guarde:

1 → NEM PRIMO NEM COMPOSTO

Essa é uma das pegadinhas mais comuns.

Padrão 2 — 2 é a grande exceção

Memorize:

2 = ÚNICO PRIMO PAR.

Portanto:

PAR MAIOR QUE 2
↓
COMPOSTO

Padrão 3 — elimine primeiro os pares

Se você recebe uma lista como:

37, 42, 53, 68

elimine imediatamente:

42 e 68.

Eles são pares e maiores que 2.

Restam apenas:

37 e 53.

Padrão 4 — terminou em 0 ou 5?

Se o número for maior que 5 e terminar em:

0 ou 5

ele é:

composto.

Exemplo:

35 → divisível por 5.

Padrão 5 — some os algarismos

Para testar divisibilidade por 3:

some os algarismos.

Exemplo:

87.

Temos:

8 + 7 = 15

15 é divisível por 3.

Logo:

87 é composto.

Padrão 6 — primos maiores que 5 terminam em 1, 3, 7 ou 9

Guarde:

PRIMO > 5
↓
FINAL 1, 3, 7 OU 9

Mas lembre-se:

isso não garante que o número seja primo.

Por exemplo:

49 termina em 9
mas
49 = 7².

Padrão 7 — depois dos filtros, teste divisores primos

Suponha que o número seja:

77.

Ele:

• não é par;
• não termina em 0 ou 5;
• 7 + 7 = 14, portanto não é múltiplo de 3.

Mas:

77 ÷ 7 = 11

Logo:

77 é composto.

Os critérios iniciais servem para eliminar candidatos, não para provar automaticamente a primalidade.

Padrão 8 — pare na raiz quadrada

Para um número n:

teste divisores apenas até √n.

Isso reduz drasticamente o trabalho.

Para:

83,

temos:

√83 ≈ 9,1

Logo, basta testar:

2, 3, 5 e 7.

Nenhum funciona.

Portanto:

83 é primo.

Padrão 9 — aprenda os primos pequenos

Vale a pena memorizar pelo menos os números primos menores que 30:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

Eles aparecem constantemente como:

• respostas;
• divisores;
• fatores;
• números usados em testes de primalidade.

Padrão 10 — pense nos primos como peças básicas

Quando encontrar um número composto, tente desmontá-lo:

72
↓
8 × 9
↓
2³ × 3²

No final da decomposição aparecem:

apenas números primos.

Essa imagem mental ajuda a compreender o Teorema Fundamental da Aritmética.

Um esquema rápido para memorizar

Comece:

PRIMO
=
NATURAL MAIOR QUE 1
COM EXATAMENTE 2 DIVISORES

Depois:

1 → NÃO É PRIMO
2 → ÚNICO PRIMO PAR

Para eliminar candidatos:

PAR MAIOR QUE 2 → NÃO
TERMINA EM 0 OU 5, SE MAIOR QUE 5 → NÃO
SOMA DOS ALGARISMOS MÚLTIPLA DE 3, SE MAIOR QUE 3 → NÃO

Se ainda houver dúvida:

TESTE DIVISORES PRIMOS ATÉ √n

E lembre:

NÚMEROS PRIMOS NÃO TERMINAM
↓
EXISTEM INFINITOS

Por fim:

TODO NATURAL > 1
↓
É PRIMO
OU
PODE SER DECOMPOSTO EM PRIMOS

Com esses padrões, identificar um número primo deixa de ser um exercício de adivinhação e passa a ser uma aplicação de divisibilidade, fatoração e raciocínio lógico.