Ordem das Operações: Como Resolver Expressões Numéricas Corretamente

Quanto é 7 × 8 − 12?

A alternativa correta é:

Primeiro resolvemos a multiplicação:

O ponto fundamental não é apenas saber que 7 × 8 = 56. É perceber que a multiplicação precisa ser realizada antes da subtração.

O que é uma expressão numérica?

Uma expressão numérica reúne números e operações matemáticas em uma mesma estrutura.

Alguns exemplos simples são:

Mas uma expressão pode combinar várias operações:

Nesse caso, não podemos escolher livremente qual operação realizar primeiro. Precisamos seguir uma convenção.

Qual é a ordem correta das operações?

De forma prática, a hierarquia utilizada nas expressões aritméticas pode ser organizada assim:

Aplicando a ordem à questão

Temos:

Existem duas operações:

• uma multiplicação: 7 × 8;
• uma subtração: − 12.

Pela hierarquia das operações, a multiplicação vem primeiro:

Depois:

Por que não devemos calcular 8 − 12 primeiro?

Um erro possível seria raciocinar:

Esse cálculo corresponde, na verdade, a uma expressão diferente:

Na expressão original, entretanto, não existem parênteses em torno de 8 − 12.

Como os parênteses podem mudar completamente o resultado?

Compare estas duas expressões:

Os números e os sinais são praticamente os mesmos, mas a forma de agrupamento altera a ordem em que as operações devem ser realizadas.

E quando existem potências?

As potências são calculadas antes de multiplicações, divisões, adições e subtrações, salvo quando algum agrupamento determina outra etapa anterior.

Observe:

Fazer primeiro 5 + 3 produziria uma expressão diferente daquela que foi escrita.

É verdade que sempre resolvemos da esquerda para a direita?

Não.

Essa afirmação só funciona quando as operações que estamos comparando possuem a mesma prioridade.

Veja:

Mesmo que a subtração apareça primeiro na leitura da esquerda para a direita, a multiplicação possui prioridade:

Agora considere:

Divisão e multiplicação possuem a mesma prioridade. Nesse caso, seguimos da esquerda para a direita:

Multiplicação e divisão possuem a mesma prioridade

Essa observação evita uma das maiores confusões em expressões numéricas.

Adição e subtração também possuem a mesma prioridade

O mesmo princípio vale no nível seguinte.

Observe:

Como adição e subtração possuem a mesma prioridade, seguimos da esquerda para a direita:

Como resolver 7 × 8 − 12 mentalmente?

Em uma questão simples como essa, escrever todas as etapas pode nem ser necessário.

1. Reconheça 7 × 8.
   O produto é 56.
2. Decomponha 12.
   Pense em 12 como 10 + 2.
3. Retire 10.
   56 − 10 = 46.
4. Retire mais 2.
   46 − 2 = 44.

Essa decomposição é útil porque trabalhar com dezenas inteiras costuma facilitar o cálculo mental.

Como a propriedade distributiva ajuda no cálculo mental?

A multiplicação pode ser reorganizada por meio da propriedade distributiva.

Por exemplo:

Podemos representar a propriedade, de modo geral, por:

Outro exemplo de cálculo mental

Imagine:

Podemos pensar em 19 como 20 − 1:

Essa estratégia pode ser mais rápida do que executar o algoritmo tradicional no papel.

Como verificar se 44 realmente está correto?

Uma boa estratégia em provas é utilizar operações inversas.

Sabemos que:

Podemos conferir somando novamente 12:

Depois verificamos a multiplicação:

As operações inversas conduzem novamente aos números da expressão original.

A estimativa também pode revelar respostas impossíveis

Nem sempre precisamos refazer todo o cálculo para perceber que uma alternativa está errada.

Sabemos que:

Como ainda precisamos subtrair 12, o resultado obrigatoriamente será menor que 56.

Portanto, a alternativa:

já pode ser eliminada sem realizar o cálculo completo.

Erros comuns em expressões numéricas

Compare expressões muito parecidas

Pequenas alterações na escrita podem produzir resultados completamente diferentes.

Como esse conteúdo pode aparecer em provas?

A ordem das operações pode aparecer isoladamente ou integrada a problemas de álgebra, porcentagem, geometria e interpretação de fórmulas.

1. Multiplicação e adição

Primeiro:

Resposta: B) 29.

2. Uso dos parênteses

3. Potência

4. Multiplicação e divisão

5. Operações combinadas

Como encontrar padrões e não se confundir?

Em vez de tentar decorar respostas, crie uma sequência de verificação.

1. Procure os parênteses.
   Se existirem, comece pelas operações agrupadas.
2. Procure potências.
   Resolva-as antes das quatro operações básicas.
3. Localize multiplicações e divisões.
   Resolva-as da esquerda para a direita.
4. Depois faça adições e subtrações.
   Novamente, siga da esquerda para a direita quando estiverem no mesmo nível.
5. Não invente agrupamentos.
   Se não existem parênteses, não trate uma parte da expressão como se estivesse entre parênteses.
6. Faça uma estimativa.
   Pergunte se o resultado encontrado parece compatível com os números da expressão.
7. Utilize operações inversas.
   Elas podem ajudar a conferir o resultado.
8. Decomponha números quando isso facilitar.
   Por exemplo, 56 − 12 pode ser pensado como 56 − 10 − 2.

Um esquema simples para memorizar

Padrões rápidos de cálculo mental

Exercícios para revisão

1. Quanto é 6 × 7 − 10?
2. Quanto é 5 + 8 × 3?
3. Quanto é (5 + 8) × 3?
4. Quanto é 24 ÷ 6 × 2?
5. Quanto é 20 − 5 + 3?
6. Quanto é 2 + 3² × 4?
7. Quanto é 40 − 6 × 5?
8. Quanto é 7 × (8 − 3)?
9. Quanto é 7 × 8 − 3?
10. Quanto é 48 ÷ 8 + 6 × 3?
11. Quanto é 18 − 6 + 2?
12. Quanto é 60 ÷ 5 × 2 − 4?

Perguntas frequentes