A forma correta é “exigimos”, com a letra g. A grafia “exijimos” não faz parte da conjugação padrão do verbo exigir. A dúvida é compreensível, porém, porque escrevemos “eu exijo”, “que ele exija” e “que nós exijamos”. A alternância entre g e j não é aleatória: ela está relacionada à letra que vem depois e à preservação do som do radical. Entender esse mecanismo permite resolver não apenas esta dúvida, mas também casos semelhantes como dirijo/dirigimos, corrijo/corrigimos e ajo/agimos.
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